Granos de arroz, un teorema y la astucia del Doctor Cuesta

CEAC Blog

24-03-2015

Cuenta la leyenda sobre la invención del ajedrez que fue un matemático quien desarrolló tal ingenioso juego y se lo regaló a un rey persa quien, impresionado, en agradecimiento le ofreció a cambio lo que él desease. El inventor, en apariencia humilde, rechazó los bellos y caros tesoros que el rey le ofrecía y estableció un precio para cada una de las casillas (64 en total) de  su juego. El precio a pagar debía ser el de 1 grano de arroz por la primera casilla del tablero, el doble de esa cantidad (2 granos) por la segunda, otra vez el doble de la cantidad anterior (4 granos) por la tercera casilla, y así sucesivamente hasta completar todas las casillas del tablero de ajedrez.  Al rey le pareció ridículo este pago, apenas un montoncito de granos de arroz por aquel magnífico juego, y lo cierto es que a la mayoría de nosotros también nos hubiese parecido demasiado poco; muchos a priori, estarían dispuestos a pagar incluso ese mismo precio por cualquier baratija, pero...  no son las cosas lo que parecen.

Debemos tener en cuenta que, solo el pago de la última casilla del tablero supone una cantidad de 263  granos de arroz, es decir, más de 9 trillones de granos de arroz (o lo que es lo mismo, más de 9 millones de billones de arroz...). A nuestra cabeza le cuesta manejar esas cantidades y los granos de arroz son pequeños, sí, pero semejante cantidad de granos equivaldría a unos 275.000 millones de toneladas de arroz y no hay ahora mismo, en todo el mundo, tanto arroz acumulado; la producción anual mundial de arroz no llega jamás ni siquiera a los 1.000 millones de toneladas... Está claro pues que el rey nunca iba a poder pagar el precio establecido por el matemático. Pobre rey que no entendía cómo, de golpe, el montoncito de granos de arroz se había transformado en una cantidad inconcebible e inalcanzable... Para contentar al rey, otro día os hablaremos aquí sobre las sorpresas que el crecimiento exponencial depara, pero ahora vamos a seguir explicando lo que NO cuenta el resto de esta leyenda.

El Teorema de Fermat

Pues lo que no cuenta la leyenda es que, por aquel entonces, D. Jesús Cuesta era el consejero del rey persa y, alertado de lo que estaba ocurriendo, acudió presto y veloz en ayuda del rey. "¿Te gusta jugar con los granos de arroz?" preguntó nuestro Jesús al matemático, "Pues ahora soy yo quien te voy a proponer un juego", añadió. "Si tú ganas, el rey te cederá su trono, pero si no lo consigues, tú perderás tu libertad y ocuparás mi puesto de consejero, que yo estoy ya muy, muy fatigado y necesito retirarme...". El matemático, orgulloso y seguro de sí mismo, no dudó ni un segundo en aceptar el reto propuesto y escuchó atentamente las indicaciones de D. Jesús, que decía:

"Vamos a suponer que los granos de arroz tienen todos la misma longitud y dichos granos de arroz van a servir, dispuestos uno tras otro, para construir las 12 aristas de un cubo perfecto. Yo construiré un cubo, el rey construirá otro y tu deberás construir un tercer cubo cuyo volumen sea el mismo que el volumen de mi cubo y el volumen del cubo del rey juntos. Y para facilitarte las cosas, engreído matemático, dinos tú cuál es el número de granos enteros que deberemos utilizar cada uno de nosotros tres para construir cada arista de nuestro respectivo cubo."

cubo hecho de granos de arroz

Al matemático no le pareció difícil la propuesta y se retiró para cavilar. "Determinar la arista de un cubo cuyo volumen sea la suma de otros dos no tiene ninguna complicación" pensaba él, y empezó a plantear hipótesis con aristas de 1 grano, 2 granos, 3, granos...

Bien, dejemos pensar al inventor del ajedrez y tengamos en cuenta que, matemáticamente, lo que nuestro sagaz Jesús Cuesta le estaba proponiendo, es decir, la determinación de las longitudes X, Y y Z de las aristas de 3 cubos, tal que la suma de los volúmenes de dos de ellos fuese igual al volumen del tercero, se expresaría de la siguiente forma:

X3 + Y3 = Z3

Y, dejando de lado nuestra leyenda, vamos a aclarar a nuestro lector que, dicha expresión es la base del planteamiento, para el caso particular de n=3, del Teorema de Fermat, teorema que, durante siglos, fue solo una hipótesis. Así pues, la conjetura que en 1637 Pierre de Fermat, formulaba era que, siendo  n>2, no existían 4 números enteros positivos X, Y, Z  y n que cumpliesen la igualdad:

Xn + Yn = Zn

Como acabamos de decir, este teorema fue durante siglos solo una conjetura ya que no fue hasta 1995, es decir, más de 350 años después de que Fermat lo formulase, que alguien consiguió demostrar que era cierto. No obstante, antes de llegar a esta demostración total del teorema, diversos matemáticos sí habían conseguido demostrar casos particulares, como por ejemplo Leonard Euler que demostró, un siglo después de su formulación, que el teorema era cierto para el caso particular de n=3.

Está claro, pues, que, en su viaje al pasado, D. Jesús Cuesta sabía muy bien que lo que estaba proponiendo al matemático no tenía solución posible y, ávido de su soñado retiro, no dudó en aprovechar la situación y utilizar toda su sabiduría e ingenio para pagar al matemático con su misma moneda, pero, pese a ello...  ¿consiguió, realmente, D. Jesús Cuesta retirarse?

Debemos esperar, todavía, para saber la respuesta.

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