Una demostración geométrica al TEOREMA DE PITÁGORAS

CEAC Blog

17-03-2015

Nos lo enseñan en el colegio y, como tantas otras cosas, nos las creemos sin más, pensando que la demostración de que tal insigne teorema es cierto solo puede ser comprendida por su célebre autor, y nuestras limitadas mentes no son capaces de llegar a entenderlo.

Nada más lejos de la realidad. En esta entrada os vamos a demostrar, sin matemáticas, de una forma geométrica y visual, que el Teorema de Pitágoras es cierto y ni a un niño le va a quedar la duda de que así es.

En primer lugar, recordemos que lo que nos dice el Teorema de Pitágoras es que, para un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado:

a2 + b2 = c2    

triángulo rectángulo

Empezamos con la demostración y os animamos a que cojáis lápiz y papel, escuadra y cartabón y un compás para trasladar las medidas y realicéis los mismos dibujos que os proponemos a continuación para que veáis que, en nuestra demostración, no hay ni trampa, ni cartón.

Pues bien, partimos de un cuadrado de lado a+b en el que dentro construimos fácilmente 4 triángulos rectángulos iguales, de lados abc, tal y como vemos en la siguiente imagen:

teorema pitagoras

Tras trazar los 4 triángulos rectángulos podemos observar que se forma un cuadrado interior de lado c. Note nuestro lector que no hemos establecido ninguna relación entre las longitudes a, b y c; éstas, hasta el momento, son solo 3 longitudes diferentes que forman un triángulo rectángulo.

Sabemos que la superficie de cualquier rectángulo se obtiene al multiplicar su lado más largo por su lado más corto, en el caso de un cuadrado, la superficie es igual a multiplicar por si mismo su longitud. Podemos afirmar, entonces que, para nuestro cuadrado interior de lado c, la superficie (que llamaremos "superficie1") es:

Superficie1 = c x c = c2

Ahora volvemos a dibujar otro cuadrado de lado a + b, tal y como hicimos antes, pero las longitudes a y b las vamos a disponer según vemos en la siguiente imagen, de forma que, los 4 triángulos rectángulos que también trazaremos dentro de nuestro cuadrado compartan la hipotenusa, o lado c. Hemos sombreado los triángulos para que no quede duda de que son 4 los que se han formado.

teorema pitágoras

En este caso, la superficie libre de triángulos que queda en nuestro cuadrado originial se reparte entre un cuadrado de lado a y otro cuadrado de lado b, siendo las superficies de estos dos cuadrados ("Superficie2" y "Superficie3") las siguientes:

Superficie2 = a x a = a2

Superficie3 = b x b = b2

Tenga ahora en cuenta nuestro lector que, en cada uno de los cuadrados a+b que hemos dibujado, hemos construido 4 triángulos iguales, y la superficie que ocupan los 4 triángulos es la misma en ambos cuadrados. Por lo tanto, en cada cuadrado de lado a+b,  la superficie libre de triángulos es, por lógica, también exactamente la misma. Es decir podemos afirmar que:

Superficie1 = Superficie2 + Superficie3

O lo que es lo mismo:

c2 =  a2 + b

Esta última igualdad equivale al Teorema de Pitágoras, luego ha quedado demostrado, como no podía ser de otra forma, que dicho teorema es cierto.

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